SIMETRIAS DE UNA GRÁFICA

Es útil conocer la simetría de una gráfica antes de intentar trazarla, puesto que solo se necesitarán la mitad de los puntos para hacerlo. Los tres tipos siguientes de simetrías pueden servir de ayuda para dibujar la gráfica de una ecuasión:

Simetría con respecto al eje y

Simetría con respecto al eje x

Simetría con respecto al origen

1. Una gráfica es simétrica con respecto al eje y si: para cada punto  (x,y)  de la gráfica, el punto (-x,y) también pertenece a la gráfica. Esto significa quela porción de la gráfica situda a la izquierda del eje y es la imagen especular de la situada a la izquierda de dicho eje.
2. Una gráfica es simétrica con respecto al eje x si: para cada punto (x,y) de la gráfica, el punto (x,-y) también pertenece a la gráfica. Esto quiere decir que la porción de la gráfica situada sobre el eje x es la imagen especular de la situada bajo el mismo eje.
3. Una gráfica es simétrica respecto al origen si: para cada punto (x,y) de la grafica, el punto (-x,-y) también pertenece a la grafica. Esto significa que la gráfica permanece inalterada si se efectua una rotación de 180º respecto al origen.

 La gráfica de un polinomio es simétrica respeco al eje y si cada uno de los términos tieneexponente par (o es una constante). Por ejemplo, la gráfica de:

Es simétrica con respecto al eje y. La gráfica de un polinomio es simétrica respecto al origen si cada uno de los términos tiene exponente impar, como se muestra en el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 1: Comprobación de la simetría
verificar si la siguiente gráfica es simétrica respecto al eje y y respecto al origen.

SOLUCIÓN:
Simetría respecto al eje y:

Simetría respecto al origen:

Puesto que la sustitución x po -x y y por -y produce una ecuasión equivalente, se concluye que la gráfica mencionada  es simétrica con respecto al origen, como se muestra en la siguiente figura:

EJEMPLO 2: Uso de las intersecciones y de las simetrías para representar una gráfica.

Dibujar la gráfica de:

SOLUCIÓN:

La gráfica es simétrica con respecto al eje x porque al sustituir y por -y se obtiene una ecuasión equivalente.

Esto significa que la porción de la gráfica situada bajo el eje x es una imagen especular de la porción situada sobre el eje. Para dibujar la gráfica, graficar primero la intersección con el eje x y  la porción sobre el eje x. Después, reflejar el dibujo en el eje x y obtener la gráfica completa, como se muestra  en la siguiente figura: