ECUACIONES DE LAS RECTAS

Para calcular la pendiente de una recta pueden usarse dos de sus puntos cualesquiera. Esto puede verificarse con ayuda de los triángulos semejantes de la siguientefigura. (Recordar que los cocientes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son todosiguales).

Cualquier par depuntos de una recta,
Determinan su pendiente.

Se puede escribir la ecuación de una recta si se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. Dada la pendiente m y un punto (x1,y1). Si (x,y) denota cualquier otro punto de la recta, entonces:

Esta ecuación, que involucra las dos variables x y y, se puede escribir de la forma y-y1=m(x-x1), la cual es conocida como: ecuación punto-pendiente de una recta.

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA:
La ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1,y1) está dada por:

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO: Determinación de la ecuación de una recta.
Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (1,-2).

La recta de pendiente 3 que pasa
por el punto (1,-2)

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PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de  una  recta no vertical es una medida del número de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de variación horizontal de izquierda a derecha. Considerar los puntos (x1 , y1) y (x2 , y2) de la recta de la siguiente figura:

Al desplazarse de izquierda a derecha por la recta, se produce una variación vertical de:

Unidades por cada variación horizontal de:

DEFINICIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA:
La pendiente m de una rectano vertical que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

La pendiente no está definida por rectas verticales.

NOTA:
Al aplicar la fórmula de la pendiente, observar que:

Por lo tanto, no importael orden en que sereste, siempre que seacoherente y las dos coordenadas que se resten provengan del mismo punto.

En las siguientesfiguras se muestra 4 rectas con pendiente: una positiva, otra cero, otra negativa y otra indefinida. En general, cuanto mayor sea el valor absoluto dela pendiente de una recta, mayores su inclinación. Por ejemplo, la recta con pendiente -5 está más inclinada que la de pendiente 1/5.

Si m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha.

Si m es cero, la recta es horizontal.

Si m es negativa, la recta baja deizquierda a derecha.

Si m es indefinida, la recta es vertical.

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PUNTOS DE INTERSECCIÓN

Se llama punto de intersección de las gráficas de dos ecuasiones a todo punto que satisfaga ambas ecuasiones. Los puntos de intersección de dos gráficas se determinan al resolver sus ecusiones de manera simultánea.

EJEMPLO: Determinación de los puntos de intersección.
Calcular los puntos de intersección de las gráficas de:

SOLUCIÓN:
Comenzar por representar las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, como se muestra en la siguiente figura:

Hecho esto resulta evidente que las gráficas tienen dos puntos de intersección. Para determinarlos se puede proceder de la siguiente manera:

Los valores correspondientes a y se obtienen sustituyendo x=2  y x=-1 en cualquiera de las ecuaciones originales.  Así  resultan los dos puntos de intersección:

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SIMETRIAS DE UNA GRÁFICA

Es útil conocer la simetría de una gráfica antes de intentar trazarla, puesto que solo se necesitarán la mitad de los puntos para hacerlo. Los tres tipos siguientes de simetrías pueden servir de ayuda para dibujar la gráfica de una ecuasión:

Simetría con respecto al eje y

Simetría con respecto al eje x

Simetría con respecto al origen

1. Una gráfica es simétrica con respecto al eje y si: para cada punto  (x,y)  de la gráfica, el punto (-x,y) también pertenece a la gráfica. Esto significa quela porción de la gráfica situda a la izquierda del eje y es la imagen especular de la situada a la izquierda de dicho eje.
2. Una gráfica es simétrica con respecto al eje x si: para cada punto (x,y) de la gráfica, el punto (x,-y) también pertenece a la gráfica. Esto quiere decir que la porción de la gráfica situada sobre el eje x es la imagen especular de la situada bajo el mismo eje.
3. Una gráfica es simétrica respecto al origen si: para cada punto (x,y) de la grafica, el punto (-x,-y) también pertenece a la grafica. Esto significa que la gráfica permanece inalterada si se efectua una rotación de 180º respecto al origen.

 La gráfica de un polinomio es simétrica respeco al eje y si cada uno de los términos tieneexponente par (o es una constante). Por ejemplo, la gráfica de:

Es simétrica con respecto al eje y. La gráfica de un polinomio es simétrica respecto al origen si cada uno de los términos tiene exponente impar, como se muestra en el siguiente ejemplo.


EJEMPLO 1: Comprobación de la simetría
verificar si la siguiente gráfica es simétrica respecto al eje y y respecto al origen.

SOLUCIÓN:
Simetría respecto al eje y:

Simetría respecto al origen:

Puesto que la sustitución x po -x y y por -y produce una ecuasión equivalente, se concluye que la gráfica mencionada  es simétrica con respecto al origen, como se muestra en la siguiente figura:

EJEMPLO 2: Uso de las intersecciones y de las simetrías para representar una gráfica.

Dibujar la gráfica de:

SOLUCIÓN:

La gráfica es simétrica con respecto al eje x porque al sustituir y por -y se obtiene una ecuasión equivalente.

Esto significa que la porción de la gráfica situada bajo el eje x es una imagen especular de la porción situada sobre el eje. Para dibujar la gráfica, graficar primero la intersección con el eje x y  la porción sobre el eje x. Después, reflejar el dibujo en el eje x y obtener la gráfica completa, como se muestra  en la siguiente figura:

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INTERSECCIONES DE UNA GRÁFICA CON LOS EJES

Dos tipos de puntos solución útiles al representar gráficamente una ecuasión son aquellos en los que lacoordenada x o y es cero. Tales puntos se denominan intersecciones con los ejes porque  son los puntos en que la gráfica se corta (hace intersección)con el eje x o el eje y. Un punto del tipo (a,0) es una intersección en x de la gráfica de una ecuasión si es un punto solución de esta. Para determinar las intersecciones en x de una gráfica, igualar y a cero y despejar x de la ecuasión resultante. De manera análoga, un punto del tipo (0,b) es una intersección en y de la gráfica de una ecuasión si es unpunto solución de la misma. Para encontrar las intersecciones en y de una gráfica, igualar x a cero y despejar y de la ecuasión resultante.

NOTA:
En algunos textos sedenomina x intersección a la coordnada x del punto (a,0) en lugar del propio punto. Salvo que sea necesario distinguirlos, se usará el término intersección para denotar tanto al punto de intersección con el eje x como a su abcisa.
Es posible que una gráfica no posea una intersección con los ejes, o que presente varias de ellas, como se muestra en las siguientes gráficas:

No hayinterseccionesconeleje x
Una intersección conel eje y

Tres intersecciones con el eje x
Una intersección con el eje y

Una intersección con el eje x
Dos intersecciones con el eje y

No hay intersecciones conlos ejes

EJEMPLO: Determinación de lasintersecciones con los ejes x y y
Encontrar las intersecciones con los ejes en la gráfica de:

SOLUCIÓN: Para determinar las intersecciones en x, igualar y a cero y despejar x

Puesto que esta ecuasión admite tres soluciones, se puede concluir que la gráfica tiene tres intersecciones en x:

Para encontrar las intersecciones en y, igualar x a cero. Resulta entonces y=0. Por tanto, la intersección en y es:

GRÁFICA:

En este ejemplo se utiliza un método analítico para determinar las intersecciones con los ejes. Cuando no es posible tal enfoque analítico, se puede recurrir a métodos gráficos, buscando los puntos donde la gráfica toca los ejes. Utilizar una herramienta de graficación para aproximar las intersecciones.

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GRÁFICA DE UNA ECUACIÓN

En 1637, el matemático francés René  Descartes revolucionó las matemáticas al unir sus dos ramas principales:álgebra y geometría. Con ayuda del plano coordenado deDescartes, los conceptos geométricos se pudieron formular de manera analítica y los algebraicos visualizarse de forma gráfica. La potencia de este método es tal que durante un siglo se consiguió desarrollar la mayor parte del cálculo.

Las posibilidades de éxito en el cálculo aumentarán siguiendo el mismo método. Es decir, realizar el cálculo desde múltiples perspectivas - gráfica analítica y numérica - incrementará la comprensión de los conceptotos fundamentales.
Considerar la ecuasión 3X+Y=7. El punto (2,1) es un punto solución de la ecuasión puesto que esta última se satisface (es verdadera) cuando se sustituye X por 2 y Y por 1. Esta ecuasión tiene muchas otras soluciones, como (1,4) y (0,7). Para encontrarlas de manera sistemática, despejar Y de la ecuasión inicial:

Y=7-3X

Ahora elaboramos una tabla de valores dando valores de X:

A partir de la tabla puede verse que (0,7), (1,4), (2,1), (3,-2) y (4,-5) son soluciones de la ecuasión inicial 3X+Y=7. Al igual que muchas ecuasiones, esta tiene una cantidad infinita de soluciones. El conjunto de todos los puntos solución constituye la gráfica de la ecuasión, como se muestra en la figura:

Nota: es digno de mención que lo que se muestra en el dibujoes solo una porción del gráfico 3X+Y=7 , recordemos que la misma tiene una cantidad infinita de soluciones, entonces la gráfica se extendería hasta el infinito

EJEMPLO: Dibujo de una gráfica mediante eltrazado de puntos.

Dibujar la gráfica de 

SOLUCIÓN:

Primero construimos una tabla de valores. A continuación, marcamos los puntos dados en la tabla

Por último, unir los puntos con una curva suave, como se muestra en la figura. Esta gráfica es una parábola, la cual estudiaremos más adelante.

Uno de los inconvenientes de la representación mediante el trazado de puntos radica en que la obtención de una idea confiable de la forma de una gráfica puede exigir que se marque un gran número de puntos. Utilizando solo unos pocos, se corre el riesgo de obtener una visión deformada de la gráfica. Por ejemplo, suponiendo que para dibujar la gráfica de:

se han marcado solo 5 puntos: (-3,-3), (-1,-1), (0,0), (1,1) y (3,3), como se muestra en la siguiente figura:

A partir de estos 5 puntos se podria concluirque la gráfica es una recta. Sin embargo, esto no es correcto. Trazando varios puntos más puede verse que la gráficaes más complicada, como se observa en la siguiente figura:

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