ECUACIONES DE LAS RECTAS

Para calcular la pendiente de una recta pueden usarse dos de sus puntos cualesquiera. Esto puede verificarse con ayuda de los triángulos semejantes de la siguientefigura. (Recordar que los cocientes de los lados correspondientes de dos triángulos semejantes son todosiguales).

Cualquier par depuntos de una recta,
Determinan su pendiente.

Se puede escribir la ecuación de una recta si se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. Dada la pendiente m y un punto (x1,y1). Si (x,y) denota cualquier otro punto de la recta, entonces:

Esta ecuación, que involucra las dos variables x y y, se puede escribir de la forma y-y1=m(x-x1), la cual es conocida como: ecuación punto-pendiente de una recta.

ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE DE UNA RECTA:
La ecuación de la recta con pendiente m que pasa por el punto (x1,y1) está dada por:

y-y1=m(x-x1)

EJEMPLO: Determinación de la ecuación de una recta.
Encontrar la ecuación de la recta con pendiente 3 que pasa por el punto (1,-2).

La recta de pendiente 3 que pasa
por el punto (1,-2)

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PENDIENTE DE UNA RECTA

La pendiente de  una  recta no vertical es una medida del número de unidades que la recta asciende (o desciende) verticalmente por cada unidad de variación horizontal de izquierda a derecha. Considerar los puntos (x1 , y1) y (x2 , y2) de la recta de la siguiente figura:

Al desplazarse de izquierda a derecha por la recta, se produce una variación vertical de:

Unidades por cada variación horizontal de:

DEFINICIÓN DE LA PENDIENTE DE UNA RECTA:
La pendiente m de una rectano vertical que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) es:

La pendiente no está definida por rectas verticales.

NOTA:
Al aplicar la fórmula de la pendiente, observar que:

Por lo tanto, no importael orden en que sereste, siempre que seacoherente y las dos coordenadas que se resten provengan del mismo punto.

En las siguientesfiguras se muestra 4 rectas con pendiente: una positiva, otra cero, otra negativa y otra indefinida. En general, cuanto mayor sea el valor absoluto dela pendiente de una recta, mayores su inclinación. Por ejemplo, la recta con pendiente -5 está más inclinada que la de pendiente 1/5.

Si m es positiva, la recta sube de izquierda a derecha.

Si m es cero, la recta es horizontal.

Si m es negativa, la recta baja deizquierda a derecha.

Si m es indefinida, la recta es vertical.

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PUNTOS DE INTERSECCIÓN

Se llama punto de intersección de las gráficas de dos ecuasiones a todo punto que satisfaga ambas ecuasiones. Los puntos de intersección de dos gráficas se determinan al resolver sus ecusiones de manera simultánea.

EJEMPLO: Determinación de los puntos de intersección.
Calcular los puntos de intersección de las gráficas de:

SOLUCIÓN:
Comenzar por representar las gráficas de ambas ecuaciones en el mismo sistema de coordenadas rectangulares, como se muestra en la siguiente figura:

Hecho esto resulta evidente que las gráficas tienen dos puntos de intersección. Para determinarlos se puede proceder de la siguiente manera:

Los valores correspondientes a y se obtienen sustituyendo x=2  y x=-1 en cualquiera de las ecuaciones originales.  Así  resultan los dos puntos de intersección:

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